惯性矩单位(《振动力学》辅导-4.2连续系统-振动方程)

惯性矩单位

阅读对象:
(1)正在学习《振动力学》课程的学生
(2)从事振动分析和动态设计的工程技术人员
建议首先阅读(点击进入):
1.《振动力学》辅导-3.1多自由度系统-建立振动方程2.《振动力学》辅导-4.1连续系统-概述
本节给出几种相对简单的连续系统振动方程的推导方法,包括均质杆的纵向振动、圆轴的扭转振动、弦的横向振动以及梁的横向振动等。
方程推导过程与以前的单自由度系统和多自由度系统不同,不是利用一般的动力学方法,而是取单元体,研究其动平衡。
注意与材料力学的相关章节做对比。
1. 杆的纵向振动
假设杆在振动过程中的横截面保持为平面,并沿杆的轴线作平移运动,忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。如图所示,设弹性直杆长为,横截面积为,材料弹性模量为,质量密度为,轴向干扰力密度为。取轴向坐标,坐标原点在杆的左端,轴向振动位移用表示。
在x处取dx微段,横截面上的轴力为P,受力如图 
由牛顿定律得

将材料力学中轴向力与轴向变形的关系式

代入上式便得到杆的纵向强迫振动方程

   

                                 (0<x<l )令方程中的等于零,便得自由振动方程

(0<x<l)对于变截面杆或质量分布不均匀的杆,要想获得上述问题封闭形式的精确解是极其困难的。对于等截面均匀杆,自由振动方程简化为

(0<x<l)
其中

这种等截面均匀杆,自由振动方程为数学中的一维波动方程,a的量纲与速度的量纲相同,是声波以杆的材料为介质的纵向传播速率。
2. 圆轴的扭转振动
假设圆轴扭转振动过程中的横截面保持为平面,以截面的扭转角作为广义坐标。设为横截面上的扭矩,为单位长度的圆轴对轴线的转动惯量, 为材料的剪切弹性模量,为横截面对扭转中心的极惯性矩,为单位长度圆轴所受的外力偶矩。
在坐标x处取dx微段,受力如图所示。
根据定轴转动微分方程得

将材料力学中扭矩与扭转角 之间的关系

代入上式即得圆轴的扭转振动方程

(0<x<l )
对于等截面轴,与均为常量,方程可写成

(0<x<l )
自由振动时

(0<x<l)
其中

与杆的纵向振动方程一样,为一维波动方程,b是扭转波的传播速率。
3. 弦的横向振动
设弦的长度为,质量密度为,横截面积为,单位长度所受的横向外干扰力为,张力为。
以变形前弦的方向为轴,横向振动位移为。对于图示长度为dx的微元体有

微振动时

代入前式,忽略高阶微量得

(0<x<l)
如果弦是均匀的,且张力T为常量,则上式可简化为

(0<x<l) 
如果外干扰力f(x,t)为零,则得到自由振动方程

(0<x<l) 
其中

也和杆的纵向振动方程一样,为一维波动方程。
4. 梁的横向振动
这里仅限于讨论梁的平面弯曲振动,这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生,梁的纵向对称面,是最常见的主平面。假设梁的长度为,横截面对中性轴的惯性矩为,材料的弹性模量为,质量密度为,单位长度梁上的横向干扰力为,干扰力偶为。 在梁的主平面上取坐标如图,轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中,轴线上任一点的位移均沿轴方向,忽略剪切变形的影响,横截面始终保持为平面,并与运动的轴线保持垂直。这样,梁内任意一点的位移,均可用轴线的位移表达。当梁的跨度比横截面的高度大得多时,这种假设是正确的。 
取长度为dx微段梁的分离体,以M、Q分别表示截面上的弯矩与剪力,受力如图。 
当忽略微段梁转动惯量的影响时,沿z方向以及绕中心点转动的运动方程为

利用

略去高阶小量得到

将材料力学内力与变形的关系

代入前式得到梁的横向振动微分方程

令方程右端的干扰力等于零,得到梁的自由振动方程

                                                   (0<x<l)


 ↓↓  资料来源  ↓↓
1. 苗同臣. 振动力学. 中国建筑工业出版社,20172. 苗同臣. 振动力学习题精解与MATLAB应用,中国建筑工业出版社,2019

Email:[email protected]
扫码关注学力学
微信号:henan-lixue
喜欢本文欢迎转发
下部广告为微信系统自动添加

惯性矩单位相关文章

为您推荐

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注

返回顶部